동적계획법은 재귀라는 수학적 개념에 기초하여 다단계의 결정과정에서의 최적화 문제를 해결하는 방법으로 Bellman에 의해 제안되었다. 동적계획법에서는 어느 양의 자원을 이용하는 방법을 활동(activity)이라 정의하며, 이 활동에 의해 이익이 발생할 경우 이익의 총량은 배분된 자원의 양과 그 활동에 따라 결정된다. 각자의 활동이 독립적이라고 할 때 전배분과정의 효용은 개별적인 활동효용을 합계함으로써 얻어지는 최적성의 원리에 따라 수학적 모형을 구성하는 방법이다. 본 방법은 각종 배분문제, 재고문제, 경제문제 등의 여러 가지 결정문제에 유용하게 사용되어 왔다. 특히 동적계획법은 목적함수와 제약조건 같은 식에 존재하는 비선형성을 다루기 쉽고, Markov 의사결정 과정을 통해 추계학적 특성을 가진 문제를 다루는데 유용하여 배수지 운영과 같은 다중 의사결정을 요구하는 문제에 체계적 과정을 제공할수 있어 많이 이용되어 왔다[9].

정수계획법은 최적화 문제의 일종으로 주어진 정수 조건을 만족시키면서 목적 함수를 최적화하는 문제에 적용된다. 정수계획법은 선형계획법의 일종으로 변수가 정수를 가지는 경우에 해당되는 최적화 문제에 이용되어 왔다. 일반적으로 수학적으로 표현되는 자연계의 문제는 펌프의 기동/정지 또는 관로의 개방/차단 등과 같은 정수의 문제가 있는 반면, 대부분의 해결되어야 할 문제는 목적함수 또는 제약조건 등이 실수로 표시되는 경우가 대부분이다. 따라서 정수계획법은 혼합된 형태로 최적화의 문제에 적용되어 왔으며, 수자원의 최적 발전기 운영계획 모형이나, 상수도 관망의 최적 수질계측기점 선정 등의 문제에 활용되어 왔다[10].

유전자 알고리즘은 진화론의 적자생존과 자연도태의 유전학에 근거한 적응탐색 기법이다. 본 알고리즘은 1973년 Holland에 의해 많은 발전을 이루었으며, 여러 가지 어려운 조합문제에 대한 효율적인 탐색을 수행하고 최적해에 근사한 해를 쉽게 구할 수 있는 방법이다. 본 기법은 상수관망, 댐운영 등의 분야에서 많은 적용 사례들을 찾아볼 수 있다. 상수관망 분야에서는 기존관로의 확장에 적용된 사례를 발견할 수 있다. 뉴욕시의 경우 기존의 최적화 결과보다도 많게는 2배까지 유전자 알고리즘이 최적의 비용을 도출하는 것으로 나타났다. 노후관로의 개량은 매설 연수가 경과함에 따라 수질 악화와 누수문제를 해결하기 위하여 가장 저렴한 비용으로 최대의 효과를 거두어야 한다. 이를 위해 관갱생, 관교체, 관삽입, 관청소, 관라이닝 등의 방법 중 가장 좋은 방법을 적절한 시기에 사용할 수 있도록 최적화 기법으로 방법과 시기를 결정해 주어야 한다. 이러한 경우에는 유전자 알고리즘 중에서도 여러 개의 목적함수를 고려해 주는 다목적해법이 이용되어 실제 모로코의 한 도시에 운영한 결과가 발표되고 있다. 또한 상수도의 운영관리 분야에도 본 기법은 적용될 수 있으며, 가장 전형적인 문제인 펌프의 스케줄, 운영시점 결정, 비상시 계획, 소화전의 위치와 규모에 대한 문제에 적용된 사례가 보고되고 있다[11,12].

화음탐색법은 재즈의 즉흥연주에서 반복적인 연습을 거듭할수록 좋은 화음이 만들어지는 현상에 착안하여 만들어진 최적화 알고리즘이다. 여러 가지 악기가 소리를 내는 과정에서, 잘 어울리는 화음을 만들거나 불협화음을 내는 경우도 존재하지만, 훈련의 과정(반복 계산)을 통해 불협화음은 점차 사라지게 되고 미적으로 가장 아름다운 화음(Global Optimum, 최적해)을 이룰 수 있을 것이다. 화음탐색법은 최적해 탐색 능력을 극대화하기 위해 하모니 메모리 고려(Harmony Memory Considering) 연산자, 음조정(Pitch Adjusting) 연산자, 랜덤 탐색(Random Search) 연산자로 구성되어 있다. 각 연산자는 매개변수에 의해 연산 빈도가 통제되며 대상문제에 적합하게 설정할 수 있다. 화음탐색법은 2001년에 처음 개발 된 이래로 공학 전 분야, 의학, 경영학, 인문학 등 다양한 분야에 적용되어 왔으며 국제적인 관심이 급증하고 있다. 화음탐색법은 수자원공학 분야에 처음 적용되었으며, 주로 수문모형 매개변수 검·보정과 상하수도시스템 설계 및 운영 최적화에 화음탐색법이 적용되었다. 특히, 상하수도시스템 분야에서는 상수도관망 수요 절점의 최소압력요구 조건과 관 내 유속 조건을 만족시키는 최소비용 관망설계에 Parameter-setting-free 화음탐색법이 적용되었으며, 펌프 에너지 비용을 최소화하는 최적 펌프운영 솔루션 도출을 위해 화음탐색법을 이용한 연구들이 수행되었다[13].

최적화 기법은 본 연구에서 지적된 관망 설계의 문제점을 해결하는데 유용하게 검토될 수 있다. 그러나 동적계획법이 유용하게 활용될 수 있는 네트워크 분석과 최단 경로탐색 문제에 있어서 각 네트워크 또는 경로상 비용이 일정하다는 가정이 있어야 한다[9]. 본 연구의 대상인 상수 관망 설계 문제에서는 관망에서의 에너지손실이 하류 측 조건에 따라 변화한다는 차이점이 있다. 이러한 차이는 최적화 문제를 구성하는 데 난이도를 높여 동적계획법 적용을 어렵게 만든다. 둘째, 상수 관망의 문제를 정수계획법 또는 혼합정수계획법을 이용하여 최적해를 구하는 문제 또는 목적함수와 제약 조건 구성에 많은 어려움을 내포하고 있다[10,11]. 특히 설계자의 경험 및 지식에 기반하여 도입되는 제약사항을 수학적으로 정형화시키는데 어려움을 발생시킨다. 예를 들어, 설계자나 운영자는 소화전에 연결된 관로를 제거하거나, 경년 관로를 우선적으로 제거하거나, 매설된 관로 중 불량 관종 구간을 우선적으로 제거하거나, 역류 발생을 심각하게 유발할 수 있는 관로를 제거하는 문제에서 경험이나 지식에 기반하여 의사결정을 하기를 원한다. 그러나 이러한 의사결정에는 정량화하거나 기준을 설정하는 데 많은 어려움이 수반됨에 따라 최적화 기법을 적용하는 것이 단순하지 않다. 마찬가지 이유로 유전자 알고리즘, 화음 탐색법 등의 최적화 기법을 실제 상수 관망 설계에 적용하는데 많은 제한 요소와 가정을 수반하고 있다[12,13].

본 연구는 Eulerian path의 개념을 상수 관망 설계에 적용한 선행 연구에[1,2] 근간을 두고 있다. 오일러 경로를 이용한 상수관망의 제거 알고리즘은 관로의 수()가 증가할수록 EPANET2를 이용한 관망해석의 횟수가 기하급수적으로() 증가하여 모의시간이 과도하게 소요되는 문제와 더불어 컴퓨터 메모리의 한계로 인해 분석이 불가능한 상황이 초래된다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 검토된 최적화 기법들은 소화전 연결관로, 경년관로, 불량관종 등 운영자의 지식과 경험을 반영하지 못하는 사유로 실제 컴퓨터 근간의 프로그램에 적용하지 못하는 단점을 가지고 있다[1,2].

본 연구에서는 관로를 순차적으로 추가하는 것과는 반대의 절차로 관로를 순차적으로 제거하는 방법을 우선 고려하였다. 이 때, 전체 상수관망의 흐름에 가장 영향이 적은 관로를 우선적으로 제거함으로써 관망의 수리학적 기능을 원래의 관망과 가장 유사한 흐름 상태를 유지할 수 있다. 즉, 우선적으로 제거되는 관로는 상수관망 흐름에 가장 적은 영향을 미치므로 가장 불필요한 관로로 간주될 수 있다. 본 연구에서는 상수관망에 대한 흐름영향을 대표하는 단위길이당 손실수두(동수경사 I)가 최소가 되는 관로부터 순차적으로 제거하는 알고리즘을 적용하기로 하였다. 본 기법은 기존의 최적화 기법과는 달리 물리적(또는 유체역학적, 수리학적) 이론에 기반하고 있는데, 관로에서의 단위길이당 손실수두(동수경사 I)는 다음의 식(1)로 나타낼 수 있다.

여기서, h_L = 수두손실, L = 관길이, Q = 유량, C_HW = Hazen-Williams의 조도계수, D = 관경을 나타낸다. 위의 식은 공학적으로 다음과 같은 의미를 가진다. 첫째, 관로내를 흐르는 유량(Q)이 적을수록 동수경사(I)가 작다. 즉, 관로를 통과하는 유량이 적으면 불용관으로 간주하여 본 관로를 제거할 수 있다는 공학적 의미를 가진다. 둘째, 관경(D)이 클수록 동수경사(I)가 작다. 즉, 관로내를 흐르는 유량에 비하여 관경이 불필요하게 크게 설정되어 있으므로 본 관로는 제거할 수 있다는 공학적 의미를 가진다. 셋째, 동수경사(I)가 작으면 관로를 제거하는 경우 주변관로 및 흐름에 대한 영향이 적으며, 추가적으로 다른 관로를 많이 제거할 수 있는 이점이 있다. 넷째, 관로의 유속(V)이 적은 관로에서는 동수경사(I)가 작아진다. 즉, 관로의 유속이 적으며 수돗물의 체류시간이 증가하여 수질(잔류염소의 감쇄)의 악화를 유발할 수 있으며, 최소동수경사를 이용하는 방법은 이러한 공학적 문제점을 해결할 수 있을 것으로 판단된다. 다음 Fig. 1은 최소동수경사법에 의한 순차적 관로 제거 알고리즘을 정리한 것이다.

Eulerian path를 이용한 상수관망의 제거 알고리즘을 적용하는 경우, 수용가 위치의 임의성으로 인해 관로노선을 이상적으로 계획하는 것이 불가능하며, 오일러 경로에 의해 설정된 1개 관로의 파손 시 하류측 용수공급의 신뢰성 문제가 발생할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 최소동수경사법을 이용한 순차적 관로제거 알고리즘을 적용하는 과정에서 관망의 불용관을 최소화할 수 있도록 ‘Eulerian path 적합도’라는 인자를 도입하였다. 그래프 G=(V,E)가 Eulerian path를 형성하기 위해서는 각각의 꼭지점(V)에 연결된 변(E)의 수가 짝수이어야 한다는 조건을 이용하여 아래의 식(2)에 의해 Eulerian path 적합도를 산정할 수 있도록 하였다.

상수 관망의 블록화나 관망 정비 사업을 통해 보다 효율적인 관망 네트워크를 구축하고자 많은 시도가 이루어져 왔다. 이러한 정비 사업들을 통해 유수율 제고, 관망의 수량적 안정성 확보 및 수질 개선 등의 효과가 뚜렷한데도, 수행 과정에서 발생할 수 있는 수질사고는 사업 추진을 가로막는 장애요인으로 작용하고 있다. 관망 정비 사업의 수행 시 발생되는 수질 사고는 유수의 전환 시 탁수 및 적수가 발생될 수 있으며, 한번 발생한 수질 사고는 관내의 흐름이 안정화되는 상당한 기간동안 지속되며, 소비자 불만 사항이 극도로 상승하며 이로 인한 수돗물 수질에 대한 불신으로 작용하는 문제점을 유발한다.

이에 본 연구에서는 관망정비 과정에서 불용관의 제거가 흐름에 미치는 영향을 최소화 하기 위하여 ‘역방향 흐름 비율’라는 인자를 도입하였다. 즉, 1개의 관로를 제거하는 것이 전체 상수관망의 흐름방향에 미치는 영향을 검토할 수 있도록 하였다. 원본상태의 관망해석 파일로 초기 관망해석을 실시하고 각 관로별로 흐름방향을 메모리에 저장한 후, 관로의 제거시 기존의 흐름방향과 반대되는 관로의 내표면적을 계산하는 다음의 식(3)을 도입하였다.

본 연구에서 대상으로 한 상수 관망은 S_시의 Y_지역 관로이며 EPANET2 입력파일을 이용해 기존 관망에 대한 모의를 실시하였다. 모의 대상이 되는 Y_지역 배수관망은 총 관로수 316개, 총 절점수(1개 배수지 포함) 262개, 총 관로길이 35,326 m로 구성되어 있다. 배수관망의 모의는 해석 조건에 입각하여 100 hr의 시간에 걸쳐 확장기간모의(extended period simulation)를 실시하였으며, 수리학적 모의 시간 간격은 1 hr, 수질 모의 시간 간격은 1/10 hr를 선정하였다. 일반적으로 해석조건에서는 수질 모의시간 간격이 설정되어 있지 않으나, EPANET2의 경우 디폴트(default)로 수리학적 모의시간 간격으로 1/10로 자동적으로 설정되기 때문에 이에 따라 모의를 실행하였다. 확장기간모의에서 용수수요량의 시간적변화 패턴이 설정되어 있을 경우 이에 대한 동적인 결과분석이 가능하나, 기존의 입력파일에는 별도의 패턴이 설정되어 있지 않아 디폴트(Deault)인 일정한 패턴에 대해 모의를 실시하였다. 따라서 탱크(Tank)가 없는 Y_지역 배수관망의 수리학적 해석결과는 모든 시간대에 일정할 것으로 예상할 수 있으며, 수질모의 결과만이 시간대별로 달라질 수 있다.

다음 Fig. 2는 EPANET2에 의한 t=100 hr에서의 관망 해석 결과를 나타내었다. 동수두에 대한 관망해석 결과에서 알 수 있는 바와 같이 Y_지역의 동수두 범위는 40~50 m인 것을 확인하였다. 일정한 범위 내의 동수두 결과로부터 배수구역의 크기가 많은 수두손실을 발생시킬 정도로 크지 않음을 확인할 수 있었다.

잔류염소에 대한 관망해석 결과 배수지(Reservoir)에서 0.33 mg/L인 잔류염소는 배수관망의 절점에서 감쇄되는 것으로 나타났으며, 최소치는 0.0 mg/L로 나타났다. 최소치에 0.0 mg/L가 나타난 사유는 EPANET2에 의한 관망의 모의 시 용수 수요절점의 수요량(Base Demand)을 ‘0’으로 설정하는 관말(Dead End)의 경우, 유속이 ‘0’이 되고 체류시간이 무한대(∞)가 되어 잔류염소의 감쇄반응에 의한 0 mg/L가 모의결과로 발생된다. 따라서 적정한 수질모의를 위해서는 관말의 경우 절점의 용수수요량을 ‘0’이외의 값으로 설정하는 것이 중요하다(Fig. 3 참조).

Euler Circuit의 관망해석 모듈로 해석한 결과를 아래에 도시하였다. 상태화면(Status Bar)에 나타나는 최소압력수두는 5.31 m로 확인되었으며, 이는 배수관망의 입력관로에서 최소압력수두는 저수지 유출지점으로 확인되었다. 최소압력수두에 대한 정보를 추출하는 목적은 관망의 어떤 절점에서도 부압이 발생되는 경우 흐름의 단절을 발생할 수 있으므로 본 프로그램에서는 이 인자가 모니터링 될 수 있도록 하였다. 또한 상태화면(Status Bar)에 나타나는 최소잔류염소 농도는 0.138 mg/L로 확인되었으며, 이는 EPANET2 해석결과에서 기술한 바와 같이, 용수수요량이 없는 절점에서 발생된 0 mg/L의 잔류염소 농도를 제외한 최소값으로서 관망의 수질상태를 모니터링할 수 있도록 하였다.

Eulerian path에 의한 최적경로 분석을 실행한 결과는 아래의 그림에 도시되었다(Fig. 6). 아래의 관망도에서 붉은색 점선으로 표시된 부분이 제거대상 관로로 도출되었으며, 총 66개의 관로에 걸쳐 6,465 m가 제거 가능한 것으로 나타났다. 제거대상이 되는 관로의 길이는 현재 매설된 관로 길이의 18.3%에 해당되는 것으로 산출되었다. 본 분석에서는 소화전 연결관로, 역방향 흐름관로, 경년관로, 불량관종관로 등에 대한 고려는 하지 않았으며, 이는 상수관망의 설계자 또는 운영자가 별도의 속성정보 수집이 필요한 사항이거나, 공학적 관점에서 판단이 필요한 부분이기 떄문이다.

최적경로 분석결과를 에너지손실(손실수두합), Euler경로 적합도, 역방향 흐름비율의 관점에서 분석한 결과는 아래의 그림과 같다(Fig. 7과 8). 첫째, 총 316개의 관로 35,326 m를 통해 수돗물을 공급하는 경우 관로의 손실로 발생되는 에너지의 합은 약 3.96 m인 반면, 66개의 관로에 걸쳐 6,465 m가 제거된 상태에서 관로의 손실로 발생되는 에너지의 합은 약 5.14 m로 약 1.18 m의 관로손실이 증가하였다. 이는 용수공급 관로의 길이가 줄어든 반면, 관로를 통하여 흐르는 유량 및 유속이 증가하여 비선형적인 에너지 손실이 증가하기 때문이다. 그러나 본 배수관망의 계통처럼 배수지로부터 용수가 공급되는 경우 크지 않은 에너지 손실의 증가는 관로제거 및 관망정비로 인한 편익에 비하여 무시할 수 있을 것으로 판단된다. 둘째, 최적경로 분석결과에 따른 관망정비를 수행하는 경우 입력관망의 Eulerian path 적합도인 41.15%에서 52.45%로 약 10.3%가 증가하였다. 즉, Eulerian path의 관점에서 중복되는 관로노선을 약 10.3% 개선하는 효과가 얻어질 수 있다. 마지막으로 본 입력관망에 대하여 66개 관로를 모두 제거하는 경우 초기 흐름방향에 비하여 0.44%의 역방향 흐름이 발생될 것으로 예측된다. 이는 거의 역방향 흐름이 발생하지 않는 것으로 해석될 수 있으며, 이로 인한 탁수발생 등의 문제에서 별다른 문제를 발생시키지 않을 것으로 판단된다.

이전 절에서 최적경로 분석이 완료된 출력관로(output network)에 대하여 Eulerian path의 관망해석 모듈로 해석한 결과를 아래에 도시하였다(Fig. 9와 10) 본 해석결과에 따르면, 상태화면에 나타나는 최소압력수두는 5.31 m, 최소잔류염소 농도는 0.149 mg/L 로 확인되었다. 즉, 본 배수관망의 경우 66개의 관로가 제거된 이후에도 최소압력이 발생되는 지점은 배수지 유출지점으로 부압발생으로 인한 흐름의 단절 현상이 발생되지 않는 것으로 분석되었다. 또한 최소잔류염소 농도는 입력관망의 0.138 mg/L에 비하여 출력관망의 잔류염소 농도의 최소치가 0.011 mg/L 상승되는 것으로 나타났으며, 이는 관로길이의 감소로 인한 체류시간 감소가 영향을 미치는 것으로 판단된다.