한 번 지나간 선으로는 지나가지 않고 모든 선을 이어 그림을 완성하는 것을 우리는 한붓그리기로 정의한다. 붓을 종이에서 떼지 않고 한 번에 그린다고 해서 명명되었다. 이산수학에서는 시작점과 끝나는 점이 동일한 경우를 ‘Eulerian Circuit’이라 정의하고 시작점과 끝나는 점이 동일하지 않은 경우를 ‘Eulerian Trail’로 정의한다. Fig. 2에서 나타낸 바와 같이 우체부가 쾨니히스베르크에 있는 7개의 다리(변)를 단 한 번씩만 건너서 다시 출발점으로 되돌아 올 수 있는가의 문제를 1736년에 레온하르트 오일러가 그런 방법은 없다고 증명한 것을 Eulerina path의 이론적 출발점으로 보고 있다[13-15]. 비숫한 그래프 이론 문제로는 모든 변을 한 번만 지나야 하는 한붓 그리기 문제와는 반대로 모든 꼭지점을 모두 한 번만 방문해야 하는 ‘Hamilton path’문제도 있다[12,13].

임의의 도형에서 Eulerian circuit이 존재하는 조건은 절점의 차수(절점에 모이는 변의 개수)가 모두 짝수인 경우이다. 이 조건에서는 어떤 점에서 출발해도 다시 출발점으로 되돌아올수 있다(Fig. 3(a) 참조). 또한 Eulerian trail이 존재하는 경우 (Fig. 3(b)) 차수가 홀수점에서 출발하면 다른 홀수 차수점으로 도착하게 된다. 이러한 경우 Eulerian trail은 존재하지만 Eulerian circuit은 존재하지 않게 된다. 그 이외에 홀수점이 2개가 넘는 경우나 1개가 되는 경우에는 한붓그리기가 불가능하다.

그래프 이론에서 인접행렬(adjacency matrix)은 그래프에서 각 절점들이 변으로 연결되었는지 나타내는 정사각형(n × n) 행렬을 의미한다. 본 연구에서 선택한 상수 관망에서 Eulerian path를 찾아내는 방법은 이러한 인접행렬을 구하는 것이다[13,14]. 예를 들어 Fig. 3의 (a)와 (b)의 인접행렬을 구하면 다음과 같이 나타난다.

Fig. 4의 두 개의 인접행렬을 만들었을 때 Eulerian circuit 및 Eulerian trail 경우 모두 꼭지점이 5개이므로 5×5의 행렬을 가진다. (a)의 인접행렬의 경우 가로 세로의 행과 열의 합이 모두 짝수의 차원을 나타내며, 이는 모든 절점이 짝수점임을 의미한다. 이에 반해 (b)의 경우 네 번째와 다섯 번째 행과 열의 합이 3의 차원을 가지며 두 개의 절점이 홀수점임을 나타낸다. 이에 본 연구에서는 대상이 된 상수 공급 관망에서 파이프 하나씩 소거해 나가면서 인접행렬을 구하고 이를 근거로 Eulerian path인지를 판별하는 과정을 C언어로 코딩하였다.

우리나라 J_시의 상수 공급 체계는 월 사용량 462,660 m³이며, 유수율이 50~80% 정도 된다. 인구는 약 32,000명 정도가 거주하고 있는 곳이다. M_배수지(water reservoir)의 규모는 13,000 m³이다. Fig. 5의 (b)에 나타낸 M_소블록은 외곽지역 단일관로 유입으로 별도의 배관로 부설 및 경계변 차단 없이 구역 고립이 가능하다. M_소블록의 야간 최저 유입량은 구역 별로 0.3~9.5 m³/hr 정도로 측정되었다. Table 1은 M_소블록의 구역현황을 나타낸 것이다.

본 연구에서는 연구 대상인 M_소블록에 대하여 미국 환경청에서 배포하고 있는 EPANET을 이용하여 관망 해석을 수행하였다. 관로 내의 물리적 측성인 관경, 길이, 조도계수 및 사용량 드을 이용하여 관로 내 각 지점과 시간별로 수리학적 특성인 관내에서의 유속과 절점에서의 압력분포를 예측할 수 있으며, 수질적으로 잔류염소 농도를 예측할 수 있다[16]. Fig. 6은 연구 대상 M_소블록의 관경(D, mm), C 값(Hazen-Williams 계수, 무차원), 관로 연장(L, m), 기저 요구량(BD, m³/일), 표고(EL, m)를 표시하였다. EPANET을 이용하여 관망 해석한 결과는 노드에서의 압력과 잔류염소 분포를 도출하고자 하였다. 절점(node)은 총 29개이며, 45개의 파이프 가진다. 이 중 12번, 16번, 41번 및 46번은 가상 절점으로 기저 요구량을 ‘0’로 설정하였다.

본 연구에서는 앞서 언급한 바와 같이 대상이 된 상수 관망에 대해 Eulerian path를 적용한 시나리오를 도출하기 위해 Visual studio와 Codeblocks를 이용하여 다음과 같이 코딩하였다. 직접적으로 Eulerian path를 찾는 것이 아니라, 대상 상수관망에서 홀수 절점을 하나씩 제거하면서 (홀수 절점의 변을 제거시켜 짝수 절점으로 변화시킴) 생성된 시나리오의 인접행렬로 Eulerian path인지를 확인하는 프로그램을 코딩한 것이다. 약 30 line로 구성되어 있으며, 배포용 소프트웨어 ‘Codeblocks’를 이용하여 컴파일하여 사용하였다.

본 연구의 대상이 된 지역의 M_소블록의 배수관은 모두 덕타일 주철관으로 시공되어 있다. 이에 2016년 환경부 ‘수도시설 운영비 및 공사비 개략 산정기준’ 내 관경별 부설단가 자료를 이용하여 Eulerian path 상수 공급 관망의 초기투자비를 개략적으로 산정하여 기존의 M_소블록의 초기투자비와 비교를 수행하였다. m 당 부설단가는 관자재비, 관부설비, 관로공사비 및 1km 당 3개소를 가정한 구조물공사비로 구성되어 있으며, 80~800 mm 관경에 따른 총 m당 공사비를 제시해주고 있다[17].

Fig. 8은 본 연구의 대상인 M_소블록을 대상으로 인접 행렬을 이용하여 도출한 5개의 시나리오를 도시한 것이다. 중첩을 허용하는 경우 약 421개의 Eulerian path를 찾았지만 그 중 신뢰성을 근간으로 2개 이상의 폐관로(closed loop)를 가지는 5가지 시나리오를 선택하였다. 기입된 숫자는 관로 절점 번호이며, 괄호안의 숫자는 해당 절점의 차수(변의 개수)를 기입한 것이다. 즉, 5개의 시나리오의 인접행렬은 모두 Eulerian path임을 알 수 있다.

Fig. 9는 기존 M_소블록과 (e) scenario 5를 대상으로 EPANET을 이용하여 각 노드에서의 압력과 잔류 염소농도 분포를 모의 한 결과를 도시한 것이다.

기존 M_소블록의 상수 공급 관망과의 비교에서 scenario 1은 제외하였다. 그 이유는 배수지 바로 후단인 13번, 14번 및 15번 파이프가 파단이 일어나는 경우 용수를 공급할 수 없다. 또한 15번, 16번 및 26번 절점에서 잔류 염소의 농도가 ‘0’로 나타남에 비교 대상에서 제외하였다. Scenario 2의 경우 20개 이상의 지점에서 부압이 발생하여 용수의 이송이 어렵다. 부압이 발생하는 절점이 아랫부분에 집중되는 형상이 발생하였다. Scenario 3의 경우 용수 수요량이 없는 가상 절점인 46번 절점에서 정체 구간이 형성되어 잔류 염소의 농도가 지속적으로 감소하여 궁극적으로 0.0 mg/L가 나타났다. Scenario 4에서는 44번 절점에서 용수 공급이 거의 불가능한 0.85 m의 수두가 나타났다. 전체적으로 관로 연장은 줄어드나 관로 내 유속이 빨라져 발생하는 동수두 손실이 증가하여 용수공급이 불가능할 것으로 판단하였다. 이에 반해 scenario 5는 관로의 숫자를 줄이고도 모든 노드에 용수를 공급할 수 있는 7개의 폐관로를 구성하고 있으며, 미미하지만 각 절점에서 전체적으로 0.01 mg/L정도의 잔류 염소 농도의 증가를 예측할 수 있다. 또한 평균값 기준으로 각 절점에서 압력을 거의 동일하게 유지하거나 위치에 따라 약 0.01 m의 압력이 감소되는 결과를 보이고 있다(Table 2 참조). 본 연구에서 지속적으로 최적 scenario를 모색한다면 절점에서 현저한 압력의 저하를 기대하는 것도 가능하리라 사료된다.

Table 3은 M_소블록이 인구가 밀집된 도심지역임을 감안하여 콘크리트 포장을 하는 경우 관경에 따라 덕타일 주철관을 매설하는데 소요되는 m당 공사비 및 총공사비를 산정기준에 따라 산정한 결과를 제시한 것이다. 그리고 Table 4는 scenario 5의 경우 총공사비를 계산한 과정을 나타낸 것이다. 2016년 기준의 수도시설 공사비 기준으로 M_소블록의 전체 개략적인 공사비는 약 30억 정도임에 반해 scenario 5의 경우 약 23억 정도의 총 공사비가 산정되었다. 이는 당연한 결과인데 기존 M_소블록의 경우 45개의 파이를 가지지만 scenario 5의 경우 10개의 파이를 소거하여 35개의 파이프로 구성되어 있기 때문이다. 단 10개의 파이프를 제거하고도 용수공급에 전혀 문제가 없으며, 양호한 잔류 염소 농도 분포 농도를 보이기 때문에 최기투자비 관점에서 경제적 타당성이 충분히 있음을 알 수 있다.